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  3. 考虑柱坐标系下的三重累次积分I=∫02πdθ3rdz． (Ⅰ)将I用直角坐标(Oxyz)化为累次积分； (Ⅱ)将I用球坐标化为累次积分； (Ⅲ)求I的值．

考虑柱坐标系下的三重累次积分I=∫02πdθ3rdz． (Ⅰ)将I用直角坐标(Oxyz)化为累次积分； (Ⅱ)将I用球坐标化为累次积分； (Ⅲ)求I的值．

admin2019-07-19  49
问题 考虑柱坐标系下的三重累次积分I=∫02πdθ3rdz．
(Ⅰ)将I用直角坐标(Oxyz)化为累次积分；
(Ⅱ)将I用球坐标化为累次积分；
(Ⅲ)求I的值．
选项
答案(Ⅰ)积分区域Ω：[*]，(x，y)∈Dxy， 其中Dxy={(x，y)|x2+y2≤2}．于是 [*] (Ⅱ)Ω是由锥面z=[*](球坐标方程为φ=π／4)与上半球面z=[*](球坐标方程是ρ=2)围成．Ω的球坐标表示是：0≤θ≤2π，0≤φ≤π／4／－，0≤ρ≤2，于是 I=∫02πdθ∫0π／4dφ∫023ρ2sinφdρ． (Ⅲ)用球坐标最为方便． I=2π∫0π／4sinφdφ∫023ρ2dρ=2π(－cosφ)|0π／4．ρ3|02=8(2－[*])π．
解析
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考研数学一

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