2. 考研
  3. 设α=[1，2，3，4]T，β=[3，一2，一1，1]T，A=αβT． (I)求A的特征值，特征向量； (Ⅱ)问A能否相似于对角阵，说明理由．

设α=[1，2，3，4]T，β=[3，一2，一1，1]T，A=αβT． (I)求A的特征值，特征向量； (Ⅱ)问A能否相似于对角阵，说明理由．

admin2014-04-16  75
问题 设α=[1，2，3，4]T，β=[3，一2，一1，1]T，A=αβT．
(I)求A的特征值，特征向量；
(Ⅱ)问A能否相似于对角阵，说明理由．
选项
答案法一[*][*]故A有特征值λ=0(四重根)．当λ=0时，由(λE一A)x=0，即Ax=0，Ax=0的同解方程为3x1—2x2一x3+x4=0．因r(A)一r(αβT)≤r(α)=1(α≠0)A≠0，故r(A)=1．故λ=0为四重根时，线性无关的特征向量只有三个，故A不能相似于对角阵．法二r(A)=r(αβT)≤r(α)=1．又A≠0，故r(A)=1，｜A｜=0．故A有特征值λ=0．对应的特征向量满足(OE—A)x=0，即Ax=αβTx=0，其同解方程组为3x1—2x2一x3+x4=0．解得对应的特征向量为ξ1=[2，3，0，0]T，ξ2=[1，0，3，0]T，ξ3=[1，0，0，一3]T，A的对应于λ=0的全体特征向量为走k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3，其中k1，k2，k3为不同时为零的任意常数．故知λ=0至少是A的三重特征值，设第4个特征值为λ4由[*]故λ=0是四重特征值，但对应的线性无关特征向量只有3个．故A不能相似于对角阵．
解析
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考研数学二

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