已知3阶矩阵A=有一个二重特征值，求a，并讨论A是否相似于对角矩阵．

admin2019-05-11 111

问题已知3阶矩阵A=

有一个二重特征值，求a，并讨论A是否相似于对角矩阵．

选项

答案(1)求a． A的特征多项式为 [*] =(λ-2)(λ²-8λ+18+3a)．要使得它有二重根，有两种可能的情况： ①2是二重根，即2是λ²-8λ+18+3a的根，即4-16+18+3a=0，求出a=-2，此时三个特征值为2，2，6． ②2是一重根，则λ²-8λ+18+3a有二重根，λ²-8λ+18+3a=(λ-4)²，求出a=-2／3．此时三个特征值为2，4，4． (2)讨论A是否相似于对角矩阵． ①当a=-2时，对二重特征值2，考察3-r(A-2E)是否为2 7即r(A-2E)是否为1 A-2E=[*]，r(A-2E)=1，此时A可相似对角化 ②当a=-2／3时，对二重特征值4，考察3-r(A-4E)是否为2!即r(A-4E)是否为1 A-4E=[*]，r(A-4E)=2，此时A不相似于对角矩阵.

解析

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考研数学二

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