2. 考研
  3. 已知 a1=[1，3，5，一1]T， a2=[2，7，a，4]T， a3=[5，17，一1，7]T． (Ⅰ)若a1，a2，a3线性相关，求a的值； (Ⅱ)当a=3时，求与a1，a2，a3都正交的非零向量a4；

已知 a1=[1，3，5，一1]T， a2=[2，7，a，4]T， a3=[5，17，一1，7]T． (Ⅰ)若a1，a2，a3线性相关，求a的值； (Ⅱ)当a=3时，求与a1，a2，a3都正交的非零向量a4；

admin2020-03-15  102
问题 已知
    a1=[1，3，5，一1]T，    a2=[2，7，a，4]T，    a3=[5，17，一1，7]T．
     (Ⅰ)若a1，a2，a3线性相关，求a的值；
     (Ⅱ)当a=3时，求与a1，a2，a3都正交的非零向量a4；
     (Ⅲ)当a=3时，证明a1，a2，a3，a4可表示任一个四维列向量．
选项
答案(Ⅰ)利用向量组线性相关、线性无关的定义求之； (Ⅱ)按齐次线性方程组求解的方法求之． (Ⅲ)归结证明对任意四维向量α，方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α总有解． 解 (Ⅰ)由α1，α2，α3线性相关，得秩(α1，α2，α3)＜3．由于 [*] 所以a=一3． (Ⅱ)设α4=[x1，x2，x3，x4]T，则有 <α1，α4>=0， <α2，α4>=0， <α3，α4>=0， 即 [*] 而 [*] 所以 X=[x1，x2，x3，x4]T=α4=k[19，一6，0，1]， 其中k≠0为任意常数． (Ⅲ)由于[*] 所以x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α恒有解，即任一四维列向量必可由α1，α2，α3，α4线性表出． 或由(Ⅰ)知α=3时，α1，α2，α3必线性无关，那么如果 k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0， 用α4T左乘上式两端并利用 α4Tα1=α4Tα2=α4Tα3=0， 有k4α4Tα4=0，故必有k4=0．于是 k1α1+k2α2+k3α3=0， 从而α1，α2，α3，α4必线性无关．而5个四维向量必线性相关，因此任一个四维列向量都可由α1，α2，α3，α4线性表出．
解析
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考研数学二

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