2. 考研
  3. 设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．

设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．

admin2019-02-26  115
问题 设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：
    (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵；
    (2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．
选项
答案(1)因为A正定，所以存在实可逆矩阵P1，使得P1TAP1＝E．作B1＝P1TBP1，则B仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q，使得QTB1Q是对角矩阵．令P＝P1Q，则 PTAP＝Q*P1TAP1Q＝E，PTBP＝QTP1TBP1Q＝QTB1Q．因此P即所求． (2)设对(1)中求得的可逆矩阵P，对角矩阵PTBP对角线上的元素依次为λ1，λ3，…，λn，记 M＝max{｜λ1｜，｜λ2｜，…，｜λn｜}． 则当｜ε｜＜1／M时，E＋εPTBP仍是实对角矩阵，且对角线上元素1＋ελi＞0，i＝1，2，…，n．于是E＋εPTBP正定，PT(A＋εB)P＝E＋εPTBP，因此A＋εB也正定．
解析
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考研数学一

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