2. 考研
  3. 如图1-10-3所示，阴影部分由曲线y=sinx(0≤x≤π)，直线y=a(0≤a≤1)，x=π以及y轴围成．此图形绕直线y=a旋转一周形成旋转体．问a为何值时，旋转体有最小体积，a为何值时，旋转体有最大体积．

如图1-10-3所示，阴影部分由曲线y=sinx(0≤x≤π)，直线y=a(0≤a≤1)，x=π以及y轴围成．此图形绕直线y=a旋转一周形成旋转体．问a为何值时，旋转体有最小体积，a为何值时，旋转体有最大体积．

admin2021-07-08  85
问题 如图1-10-3所示，阴影部分由曲线y=sinx(0≤x≤π)，直线y=a(0≤a≤1)，x=π以及y轴围成．此图形绕直线y=a旋转一周形成旋转体．问a为何值时，旋转体有最小体积，a为何值时，旋转体有最大体积．
选项
答案V=2∫0arcsinaπ(a—sinx)2dx+∫arcsinaπ—arcsinaπ(sinx—a)2dx =∫0arcsinaπ(a—sinx)2dx+∫0π—arcsinaπ(sinx—a)2dx 对第二个积分,令x=π—t,有 ∫arcsinaπ—arcsinaπ(sinx—a)2dx=—∫0arcsinaπ(sint—a)2dt=∫πarcsinaππ(a—sinx)2dx. 于是 V=∫0ππ(a—sinx)2dx=π2a2—4aπ+[*]π2 则有V’(a)=2π2—4π[*] 0,解得[*]是唯一驻点,且V’’(a)=2π2＞0.故[*]是极小值. 又 V(0)=π∫0πsin2xdx=[*]π2, V(1)=π∫0π(1—sinx)2dx=[*] 因此,当a=[*]时,旋转体体积最小；当a=0时,旋转体积最大.
解析
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考研数学二

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