2. 考研
  3. 设f(x)在闭区间[a，b]上连续，常数k>0．并设φ(x)=∫xbf(t)dt－k∫axf(t)dt， 证明： 存在ξ∈[a，b]使φ(ξ)=0；

设f(x)在闭区间[a，b]上连续，常数k>0．并设φ(x)=∫xbf(t)dt－k∫axf(t)dt， 证明： 存在ξ∈[a，b]使φ(ξ)=0；

admin2018-07-23  152
问题 设f(x)在闭区间[a，b]上连续，常数k>0．并设φ(x)=∫xbf(t)dt－k∫axf(t)dt，
证明：
存在ξ∈[a，b]使φ(ξ)=0；
选项
答案由题设易知φ(a)=∫abf(t)dt，φ(b)=－k∫abf(t)dt， φ(a)φ(b)=－k[∫abf(t)dt]2≤0． 如果∫ab=0，则φ(a)φ(b)=0．取ξ=a或ξ=b，使φ(ξ)=0．如果∫abf(t)dt≠0，则φ(a)φ(b)<0，存在ξ∈(a，b)使φ(ξ)=0．综上，存在ξ∈[a，b]使φ(ξ)=0．
解析
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考研数学二

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