已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22－3x32+4x1x2－4x1x3+8x2x3．用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．

admin2019-07-16 116

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=4x₂²－3x₃²+4x₁x₂－4x₁x₃+8x₂x₃．
用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．

选项

答案f的矩阵为 [*] 由A的特征方程 [*] =(λ－1)(λ²－36)=0 得A的全部特征值为λ₁=1，λ₂=6，λ₃=－6．计算可得。对应的特征向量分别可取为 α₁=(2，0，－1)^T，α₂=(1，5，2)^T，α₃=(1，－1，2)^T 对应的单位特征向量为 [*] 由此可得所求的正交矩阵为 P=[β₁ β₂ β₃] [*] 对二次型f作正交变换 [*] 则二次型f可化为如下标准形：f=y₁²+6y₂²－6y₃²．

解析

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考研数学三

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