设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3．证明：β，Aβ，A2β线性无关；

admin2015-07-22 86

问题设A为3阶矩阵，λ₁，λ₂，λ₃是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α₁，α₂，α₃，令β=α₁+α₂+α₃．
证明：β，Aβ，A²β线性无关；

选项

答案设 k₁β+k₂Aβ+k₃A²β=0， ① 由题设Aα_i=λ₁α₁(i=1，2，3)，于是 Aβ=Aα₁+Aα₂+Aα₃=λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃， A²β=λ₁²α₁+λ₂²α₂+λ₃²α₃，代入①式整理得 (k₁+k₂λ₁+k₃λ₁²)α₁+(k₁+k₂λ₂+k₃λ₂²)α₂+(k₁+k₂λ₃²+k₃)α₃=0．因为α₁，α₂，α₃是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有 [*]

解析

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