设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=y12+y22+4y32，求参数a,b及正交矩阵Q.

admin2021-11-25 103

问题设二次型f=2x₁²+2x₂²+ax₃²+2x₁x₂+2bx₁x₃+2x₂x₃经过正交变换X=QY化为标准形f=y₁²+y₂²+4y₃²，求参数a,b及正交矩阵Q.

选项

答案f=2x₁²+2x₂²+ax₃²+2x₁x₂+2bx₁x₃+2x₂x₃的矩阵形式为 f=X^TAX 其中[*],因为Q^TAQ=B=[*],所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵），于是A的特征值为1,1,4 而｜λE－A｜=λ³－(a+4)λ²+(4a－b²+2)λ+(－3a－2b+2b²+2)，所以有 λ³－(a+4)λ²+(4a－b²+2)λ+(－3a－2b+2b²+2)=(λ－1)²(λ－4) 解得a=2,b=1. 当λ¹=λ²=1时，由(E－A)X=0得ξ₁=[*],ξ₂=[*], 当λ³=4时，由(4E－A)X=0得ξ₃=[*] 显然ξ₁,ξ₂,ξ₃两两正交，单位化为 [*]

解析

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考研数学二

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设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=y12+y22+4y32，求参数a,b及正交矩阵Q.

考研数学二

已知ζ＝(-1，2，-3)T是矩阵A＝的一个特征向量。(Ⅰ)试确定参数a，b以及ζ所对应的特征值λ；(Ⅱ)A能否对角化，如果能，试求可逆矩阵P，使得A相似于对角矩阵。

设A是m×n矩阵，则下列4个命题①若r(A)=m，则非齐次线性方程组Ax=b必有解；②若r(A)=m，则齐次方程组Ax=0只有零解；③若r(A)=n，则非齐次线性方程组Ax=b有唯一解；④若r(A)=n，则齐次方程组Ax=0只有零解中正确的是

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内具有二阶导数，且f(0)=f(2)=0，f(1)=2．求证：至少存在一点ξ∈(0，2)使得f″(ξ)=—4．

设A是m×s矩阵，B是s×n矩阵，则线性方程组ABx=0和Bx=0是同解方程组的一个充分条件是()

(1)设n元实二次型f(x1，x2，…，x3)=xTAx，其中A又特征值λ1，λ2，…，λn，且满足λ1≤λ2≤…≤λn．证明对任何n维列向量x，有λ1xTx≤λ2xTx≤…≤λnxTx．(2)设f(x1，x2，x3)=(x1，x2，x3)=xTAx

如图1-3_2，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分∫0axf’(x)dx等于()

若函数u=．其中f是可微函数，且=G(x，y)u，则函数G(x，y)=()

二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+4x32一4x1x2+4x1x3—8x2x3的规范形为()

设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所围成，则二重积分=_________。

当x→0时，(1+xsin2x)a-1～1-cosx，求a．

InflationBusinessandgovernmentleadersalsoconsidertheinflationratetobeanimportantgeneralindicator.Inflationi

关于竣工财务决算的说法中，正确的是()。【2011年真题】

建设工程设计合同是指(　　)就完成商定的工程设计任务明确双方权利义务的协议。

制造费用分配表属于()。

美国的A公司通过其在香港的代理人B公司向我国C公司出口一批货物，销售合同规定货物的价格由C公司向A公司支付，货物价格5%的佣金C公司直接支付给B公司，根据我国海关法，该佣金()。

旅行社对旅游档案的管理，出境旅游档案保存期最少为()年。

一个心理健康的人，必须保持自尊：一个人只有受到自己所尊敬的人的尊敬，才能保持自尊；而一个用“追星”方式米表达自己尊敬情感的人，不可能受到自己所尊敬的人的尊敬。哪项结论可以从题干的断定中推出?

ManydeathsduringchildbirthcouldbepreventedbythefollowingmethodsEXCEPT______.

A、Hecametotheplaceonfoot.B、There’ssomethingwrongwiththebus.C、Hedidn’tcatchabusontime.D、Hewastakentoahos

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(1)设n元实二次型f(x1，x2，…，x3)=xTAx，其中A又特征值λ1，λ2，…，λn，且满足λ1≤λ2≤…≤λn．证明对任何n维列向量x，有λ1xTx≤λ2xTx≤…≤λnxTx．(2)设f(x1，x2，x3)=(x1，x2，x3)=xTAx

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二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+4x32一4x1x2+4x1x3—8x2x3的规范形为()

设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所围成，则二重积分=_________。

当x→0时，(1+xsin2x)a-1～1-cosx，求a．

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建设工程设计合同是指( )就完成商定的工程设计任务明确双方权利义务的协议。

制造费用分配表属于()。

美国的A公司通过其在香港的代理人B公司向我国C公司出口一批货物，销售合同规定货物的价格由C公司向A公司支付，货物价格5%的佣金C公司直接支付给B公司，根据我国海关法，该佣金()。

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一个心理健康的人，必须保持自尊：一个人只有受到自己所尊敬的人的尊敬，才能保持自尊；而一个用“追星”方式米表达自己尊敬情感的人，不可能受到自己所尊敬的人的尊敬。哪项结论可以从题干的断定中推出?

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A、Hecametotheplaceonfoot.B、There’ssomethingwrongwiththebus.C、Hedidn’tcatchabusontime.D、Hewastakentoahos

建设工程设计合同是指(　　)就完成商定的工程设计任务明确双方权利义务的协议。