[2016年] 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )．

admin2021-01-15 37

问题 [2016年] 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )．

选项 A、A^T与B^T相似
B、A^-1与B^-1相似
C、A+A^T与B+B^T相似
D、A+A^-1与B+B^-1相似

答案C

解析因A～B，故存在可逆矩阵P使得
B=P^-1AP． ①
在式①两边取转置，得到
B^T=(P^-1AP)^T=P^TA^T(P^-1)^T=[(P^T)^-1]^-1A^T[(P^T)^-1]
故A^T与B^T相似，选项A正确．
在式①两边求逆运算得到
B^-1=(P^-1AP)^-1=P^-1A^-1(P^-1)^-1=P^-1A^-1P，②
故A与A^-1相似，选项B正确．
由式①+式②得到
B+B^-1=P^-1AP+P^-1A^-1P=P^-1(A+A^-1)P，
故A+A^-1～B+B^-1，选项D正确，仅C入选．

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