设球体x2+y2+z2≤2az(如图1．6—1)中任一点的密度与该点到坐标原点的距离成正比，求此球体的重心．

admin2018-09-25 95

问题设球体x²+y²+z²≤2az(如图1．6—1)中任一点的密度与该点到坐标原点的距离成正比，求此球体的重心．

选项

答案由于所给球体的质量分布关于z轴对称，所以它的重心位于z轴上，而密度是 [*] 其中k是比例常数，因此可得 x_G=y_G=0， [*] 采用球坐标计算这两个三重积分，将 x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=rcosθ 代入球体的不等式，得0≤r≤2acosθ，且0≤φ≤2π，[*]则 [*] 故所给球体的重心坐标为 x_G=y_G=0， [*]

解析

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考研数学一

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计算下列二重积分：(Ⅰ)xydσ，其中D是由曲线r=sin2θ(0≤θ≤)围成的区域；(Ⅱ)xydσ，其中D是由曲线y=，x2+(y－1)2=1与y轴围成的在右上方的部分．
计算二重积分｜｜x+y｜－2｜dxdy，其中D：0≤x≤2，－2≤y≤2．
证明定积分I=sinx2dx＞0．
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