设有一半径为R，长度为l的圆柱体，平放在深度为2R的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)．设圆柱体的比重为ρ(ρ＞1)，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功?

admin2018-11-21 76

问题设有一半径为R，长度为l的圆柱体，平放在深度为2R的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)．设圆柱体的比重为ρ(ρ＞1)，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功?

选项

答案任取小区间[x，x+dx][*][一R，R]相应的柱体薄片，其体积为 [*] 移至水面时薄片移动的距离为R一x，所受的力(重力与浮力之差)为(ρ一1)2l[*]，因而移至水面时做的功为 (ρ—1)2l(R一x)[*]．整个移出水面时，此薄片离水面距离为R+x，将薄片从水面移到此距离时所做的功为ρ(R+x)2l．[*]，于是对薄片做的功为 [*] 因此，所求的功W=∫_—R^R[*][(2ρ—1)R+x]dx=2l(2ρ—1)R∫_—R^R[*]+0 =2l(2ρ—1)R．[*]R²=l(2ρ一1)πR³．

解析首先建立坐标系，取x轴垂直水平面并过球心，方向向上，原点为球心，如图3．31所示．然后用微元法，考察微元上的作用力．注意，在水里时受重力与浮力的作用，在水面上时只受重力的作用．

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考研数学一

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