(2000年)设 A＝αβT，B＝βTα，其中βT是β的转置，求解方程 2B2A2χ＝A4χ＋B4χ＋γ

admin2019-04-17 83

问题 (2000年)设

A＝αβ^T，B＝β^Tα，其中β^T是β的转置，求解方程
2B²A²χ＝A⁴χ＋B⁴χ＋γ

选项

答案由题设得[*] 又A²＝αβ¹αβ¹＝α(β¹α)β¹＝2A A⁴＝(A²)²＝(2A)²＝8A 代入原方程，得 16Aχ＝8Aχ＋16χ＋γ 即8(A－2E)χ＝γ(其中E是3阶单位矩阵)．令χ＝(χ₁，χ₂，χ₃)^T，代入上式，得非齐次线性方程组 [*] 解其对应的齐次方程组，得通解 ξ＝－k(1，2，1)^T，(k为任意常数)，显然，非齐次方程组有一个特解为 η^*＝(0，0，－[*])^T 于是所求方程的解为χ＝ξ＋η^*，即 [*]

解析

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