设三元二次型χTAχ经正交变换化为标准形5y12－y22－y32，若Aα＝5α，其中α＝(1，1，1)T，求此二次型的表达式．

admin2018-06-12 71

问题设三元二次型χ^TAχ经正交变换化为标准形5y₁²－y₂²－y₃²，若Aα＝5α，其中α＝(1，1，1)^T，求此二次型的表达式．

选项

答案二次型经正交变换化为标准形5y₁²－y₂²－y₃²，知矩阵A的特征值是5，－1，－1．设λ＝－1的特征向量是β＝(χ₁，χ₂，χ₃)^T，由于A是实对称矩阵，故α与β正交，则有 χ₁＋χ₂＋χ₃＝0．解出β₁＝(－1，1，0)^T，β₂＝(－1，0，1)^T．那么令P＝(α，β₁，β₂)＝[*] 则P^-1AP＝∧＝[*] 于是A＝P∧P^-1 [*] 所以χ^TAχ＝χ₁²＋χ₂²＋χ₃²＋4χ₁χ₂＋4χ₂χ₃＋4χ₃χ₁．

解析

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考研数学一

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