2. 考研
  3. 设A为3阶实对称矩阵，已知｜A｜=-12，A的三个特征值之和为1，又α=(1，0，-2)T是齐次线性方程组(A*-4E)X=0的一个解向量。 (1)求矩阵A； (2)求方程组(A*+6E)X=0的通解。

设A为3阶实对称矩阵，已知｜A｜=-12，A的三个特征值之和为1，又α=(1，0，-2)T是齐次线性方程组(A*-4E)X=0的一个解向量。 (1)求矩阵A； (2)求方程组(A*+6E)X=0的通解。

admin2021-04-16  140
问题 设A为3阶实对称矩阵，已知｜A｜=-12，A的三个特征值之和为1，又α=(1，0，-2)T是齐次线性方程组(A*-4E)X=0的一个解向量。
    (1)求矩阵A；
    (2)求方程组(A*+6E)X=0的通解。
选项
答案(1)求出A的全部特征值和特征向量，即可确定A，由α是(A*-4E)x=0的解向量，知(A*-4E)α=0，即 A*α=4α，上式左乘A，得AA*α=4Aa，即 ｜A｜α=4Aα，Aα=｜A｜α／4=-3α，所以λ3=-3为A的特征值，对应的一个特征向量为 α3=α=(1，0，-2)T，设A的另外两个特征值为λ1，λ2，由已知得 λ1+λ2+λ3=1，λ1λ2λ3=｜A｜=-12，将λ3=-3代入上式，解得λ1=λ2=2，设λ1=λ2=2所对应的特征向量为x=(x1，x2，x3)T，由A为实对称矩阵，得xTα3=0，即x1-2x3=0，解得一个基础解系为 α1=(0，1，0)T，α2=(2，0，1)T，由A(α1，α2，α3)=(λ1α1，λ2α2，λ3α3)，得 A=(λ1α1，λ2α2，λ3α3)(α1，α2，α3)-1 [*]。 (2)(A*+6E)x=0的基础解系，即为A*的特征值λ=-6所对应的线性无关的特征向量，而A*与A对应的特征向量相同，于是可利用A的特征向量来求(A*+6E)x=0的通解。 由(1)知，Aα1=2α1，Aα2=2α2，两式左乘A*，得A*Aα1=2A*α1，A*Aα22A*α2，即A*α1=｜A｜α1／2=-6α1，A*α2=｜A｜α2／2=-6α2，移项得(A*+6E)α1=0，(A*+6E)α2=0， 所以，α1，α2是方程组(A*+6E)x=0的两个线性无关解向量，故通解为x=k1α1+k2α2(k1，k2为任意常数)。
解析
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考研数学三

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