设A=，问当k取何值时，存在可逆矩阵P，使得P-1AP成为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵．

admin2018-08-02 111

问题设A=

，问当k取何值时，存在可逆矩阵P，使得P^-1AP成为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵．

选项

答案由｜λE-A｜=[*]=(λ+1)²(λ-1)=0，得A的全部特征值为λ₁=λ₂=-1，λ₃=1．故A可对角化[*]A的属于2重特征值λ₁=λ₂=-1的线性无关特征向量有2个[*]方程组(-E-A)x=0的基础解系含2个向量[*] 3-r(-E-A)=2[*]=0．当k=0时，可求出A的对应于特征值-1，-1；1的线性无关特征向量分别可取为α₁=(-1，2，0)^T，α₂=(1，0，2)^T，α₃=(1，0，1)^T，故令P=[α₁，α₂，α₃]=[*]，则有P^-1AP=diag(-1，-1，1)．

解析

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考研数学二

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