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  3. [2006年] 设α1，α2，…，αs均为n维向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )．

[2006年] 设α1，α2，…，αs均为n维向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )．

admin2021-01-19  102
问题 [2006年]  设α1，α2，…，αs均为n维向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是(    )．
选项 A、若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关
B、若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关
C、若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关
D、若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关
答案A
解析  可用线性相关定义证明，也可将Aα1，Aα2，…，Aαs组成矩阵，进而得到矩阵A和矩阵[α1，α2，…，αs]的乘积形式，再利用命题2．2．3．1(10)求解．
解一  用定义求解．设c1α1+c2α2+…+csαs=0，用A左乘等式两边得到
    c1Aα1+c2Aα2+…+csAαs=0．
若α1，α2，…，αs线性相关，则c1，c2，…，cs，为一组不全为零的数，由定义知Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．仅(A)入选．
解二  题断或题设中出现Aα1，Aα2，…，Aαs时，可考虑将它们构成两矩阵的乘积[Aα1，Aα2，…，Aαs]=A[α1，α2，…，αs]=AB，其中B=[α1，α2，…，αs]．由命题2．2．3．1(10)得到秩(AB)≤秩(B)．
若α1，α2，…，αs线性相关，则秩(α1，α2，…，αs)＜s，因而
    秩(AB)=秩(Aα1，Aα2，…，Aαs)≤秩(B)=秩(α1，α2，…，αs)＜s．
由命题2．3．2．1(2)知，Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．
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考研数学二

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