设y=f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数，且f"(x)≠0，试证：对于(－1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]成立；

admin2020-05-02 39

问题设y=f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数，且f"(x)≠0，试证：
对于(－1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x]成立；

选项

答案任给非零x∈(－1，1)，由拉格朗日中值定理得 f(x)=f(0)+xf′[θ(x)x] (0＜θ(x)＜1) 因为f(x)在(－1，1)内连续且f"(x)≠0，所以f"(x)在(－1，1)内不变号，不妨设f"(x)＞0，则f′(x)在(－1，1)内严格递增，故θ(x)唯一．

解析

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考研数学一

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