设A为n阶实对称矩阵，且A2=A，R(A)=r，则A的全部特征值为__，行列式｜2E-3A｜=_。

admin2018-01-26 14

问题设A为n阶实对称矩阵，且A²=A，R(A)=r，则A的全部特征值为________，行列式｜2E-3A｜=_______。

选项

答案λ₁=λ₂=…=λ_r=1，λ_r+1=λ_r+2=…=λ_n=0；(-1)^r2^n-r

解析设λ是矩阵A的任意一个特征值，α是属于λ的特征向量，即Aα=λα。
在等式A²=A两边右乘α，得A²α=Aα，也就是λ²α=λα，即(λ²-λ)α=0。因α≠0，故有λ²
-λ=0，可得A的特征值λ=0或1。
又已知A为实对称矩阵，则必可相似对角化，而A的秩R(A)=r，因此A的特征值为
λ₁=λ₂=…=λ_r=1，λ_r+1=λ_r+2=…=λ_n=0，
进而可知矩阵2E-3A的特征值为
μ₁=…=μ_r=2-3×1=-1，μ_r+1=…=μ_n=2-3×0=2，
故｜2E-3A｜=(-1)^r2^n-r。

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