2. 考研
  3. 设向量α1＝(1，﹣1，1)T，α2＝(1，k，﹣1)T，α3＝(k，1，2)T，β＝(4，k2，﹣4)T，试习之 (1)k取何值时，β不能由向量组α1，α2，α3线性表示； (2)k取何值时，β可由向量组α1，α2，α3线性表示，且表示式唯一； (3)k

设向量α1＝(1，﹣1，1)T，α2＝(1，k，﹣1)T，α3＝(k，1，2)T，β＝(4，k2，﹣4)T，试习之 (1)k取何值时，β不能由向量组α1，α2，α3线性表示； (2)k取何值时，β可由向量组α1，α2，α3线性表示，且表示式唯一； (3)k

admin2020-06-05  39
问题 设向量α1＝(1，﹣1，1)T，α2＝(1，k，﹣1)T，α3＝(k，1，2)T，β＝(4，k2，﹣4)T，试习之
(1)k取何值时，β不能由向量组α1，α2，α3线性表示；
(2)k取何值时，β可由向量组α1，α2，α3线性表示，且表示式唯一；
(3)k取何值时，β可由向量组α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，并写出该表示式．
选项
答案设A＝(α1，α2，α3)，[*]．则 ｜A｜＝[*]＝﹣(k＋1)(k－4) 当k＝﹣1时， [*] 于是R(A)＝2，[*]＝3，所以当k＝﹣1时，β不能由向量组α1，α2，α3线性表示． 当k＝4时， [*] 于是R(A)＝[*]＝2，所以当k＝4时，β可由向量组α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一． 又线性方程Ax＝β的通解为 x＝[*](t∈R) 故 β＝﹣3tα1＋(4－t)α2＋tα3 当k≠﹣1且k≠4时，由于｜A｜≠0，即R(A)＝[*]＝3，所以β能由向量组α1，α2，α3线性表示，且表示式唯一．
解析
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考研数学一

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