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已知二次型f(x1，x2，x3)=+2(1+a)x1x2的秩为2。 (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形； (Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解。
已知二次型f(x1，x2，x3)=+2(1+a)x1x2的秩为2。 (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形； (Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解。
admin
2020-03-05
37
问题
已知二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2。
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x
1
，x
2
，x
3
)化为标准形；
(Ⅲ)求方程f(x
1
，x
2
，x
3
)=0的解。
选项
答案
(Ⅰ)二次型矩阵A=[*]。二次型的秩为2，则二次型矩阵A的秩也为2，从而 ｜A｜=[*]=-8a=0， 因此a=0。 (Ⅱ)由(Ⅰ)中结论a=0，则A=[*]，由特征多项式 ｜λE-A｜=[*]=(λ-2)[(λ-1)
2
-1]=λ(λ-2)
2
得矩阵A的特征值λ
1
=λ
2
=2，λ
3
=0。 当λ=2，由(2E-A)x=0得特征向量α
1
=(1，1，0)
T
，α
2
=(0，0，1)
T
。 当λ=0，由(0E-A)x=0得特征向量α
3
=(1，-1，0)
T
。 容易看出α
1
，α
2
，α
3
已两两正交，故只需将它们单位化： [*] 那么令Q=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)=[*]，则在正交变换x=Qy下，二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)化为标准形f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax=y
T
Λy=[*] (Ⅲ)由f(x
1
，x
2
，x
3
)= [*] 所以方程f(x
1
，x
2
，x
3
)=0的通解为k(1，-1，0)
T
，其中k为任意常数。
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/MuS4777K
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考研数学一
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