微分方程 y"+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为

admin2019-02-23 79

问题微分方程 y"+y=x²+1+sinx 的特解形式可设为

选项 A、y^*=ax²+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．
B、y^*=x(ax²+bx+c+Asinx+Bcosx)．
C、y^*=ax²+bx+c+Asinx．
D、y^*=ax²+bx+c+Acosx．

答案

解析相应的二阶线性齐次方程的特征方程是λ²+1=0，特征根为λ=±i．
由线性方程解的迭加原理，分别考察方程
y"+y=x²+1， ①
与 y"+y=sinx． ②
方程①有特解y^*=ax²+bx+c，方程②的非齐次项f(x)=e^axsinβx=sinx(α=0，β=1，α±iβ是特征根)，它有特解y^*=x(Asinx+Bcosx)．
因此原方程有特解y^*=ax²+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．应选(A)．

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