2. 考研
  3. 设函数f(x)=lnx+ (Ⅰ)求f(x)的最小值； (Ⅱ)设数列{xn}满足lnxn+＜1，证明xn存在，并求此极限。

设函数f(x)=lnx+ (Ⅰ)求f(x)的最小值； (Ⅱ)设数列{xn}满足lnxn+＜1，证明xn存在，并求此极限。

admin2018-04-14  128
问题 设函数f(x)=lnx+
(Ⅰ)求f(x)的最小值；
(Ⅱ)设数列{xn}满足lnxn+＜1，证明xn存在，并求此极限。
选项
答案(Ⅰ)f’(x)=[*]=(x－1)／x2，令f’(x)=0，得唯一驻点x=1，当x∈(0，1)时，f’(x)＜0，函数单调递减；当x∈(1，+∞)时，f’(x)＞0，函数单调递增。所以函数在x=1处取得最小值f(x)=1。 (Ⅱ)证明：由于lnxn+[*]＜1，但lnxn+[*]≥1，所以1／xn+1＜1／xn，故数列{xn}单调递增。 又由于lnxn≤lnxn+[*]＜1，得到0＜xn＜e，数列{xn}有界。 由单调有界收敛定理可知极限[*]xn存在。令[*]xn=a，则 [*] 由(Ⅰ)的结论可知 [*]xn=a=1。
解析
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考研数学二

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