2. 考研
  3. 已知A为三阶方阵，A2—A—2E=D，且0＜|A|＜5，则|A+2E|=________。

已知A为三阶方阵，A2—A—2E=D，且0＜|A|＜5，则|A+2E|=________。

admin2017-01-21  105
问题 已知A为三阶方阵，A2—A—2E=D，且0＜|A|＜5，则|A+2E|=________。
选项
答案4
解析 设A的特征值λi对应的特征向量是xi（xi≠0，i=1，2，3），则Axi=λxi。
由A2—A—2E=0可知，特征向量xi满足（A2—A—2E）xi=0，从而有λi2一λi—2=0，解
得λi=—1或λi=20再根据|A|=λ1λ2λ3及0＜|A|＜5可得，λ1=λ2=—1，λ3=2。
由Axi=Axi可得（A+2E）xi=（λi+2）xi，即A+2E的特征值μi（i=1，2，3）满足μi=λi+2，所以μ1=μ2=1，μ3=4，故|A+2E|=1×1×4=4。
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考研数学三

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