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设当x>0时,方程有且仅有一个解,试求k的取值范围。
设当x>0时,方程有且仅有一个解,试求k的取值范围。
admin
2018-12-27
56
问题
设当x>0时,方程
有且仅有一个解,试求k的取值范围。
选项
答案
方法一:令[*]则[*] (1)若k≤0,则f’(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,并且[*]则当k<0时,[*]当k=0时,[*]因此,当k≤0时,原方程在(0,+∞)内有且仅有一个解。 (2)若k>0,令[*]则[*]在[*]上f’(x)<0,所以f(x)单调递减,在[*]上f’(x)>0,所以f(x)单调递增,又因为[*]要求k>0时原方程有且仅有一个解,即[*]亦即 [*] 解得[*] 综上所述,当k≤0或[*]时原方程有且仅有一个解。 方法二:原方程可变形为[*]令 [*] 那么 [*] 令f’(x)=0得[*]时,f(x)>0,f(x)单调递增;当[*]时,f(x)<0,f(x)单调递减。 又因为 [*] 由于[*]或k≤0时,y
1
=k与[*]只有一个交点,从而原方程有且仅有一个实根。
解析
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考研数学一
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