设A为n阶实对称正交矩阵，且1为A的r重特征根，则|3E一A|=__________。

admin2017-01-18 24

问题设A为n阶实对称正交矩阵，且1为A的r重特征根，则|3E一A|=__________。

选项

答案2^2n—r

解析由于A为n阶实对称正交矩阵，所以A可以相似对角化，且|A|=±1。
由A可以相似对角化可知，存在可逆矩阵P，使得
P^—1AP=diag(1，1，…，1，一1，一1，…，一1)，
其中1有r个，一1有n—r个。
所以
|3E—A|=|P(3E—P—AP)P^—1|=|P||3E—P^—1AP||P^—1|=|3E—P^—1AP|，注意到3E—P^—1AP是对角矩阵，对角线上有r个2，n—r个4，所以
|3E—A|=2^r4^n—r=2^2n—r。

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