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要设计一形状为旋转体水泥桥墩,桥墩高为h,上底面直径为2a,要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数ρ.设水泥的比重为ρ,试求桥墩的形状.
要设计一形状为旋转体水泥桥墩,桥墩高为h,上底面直径为2a,要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数ρ.设水泥的比重为ρ,试求桥墩的形状.
admin
2018-06-27
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问题
要设计一形状为旋转体水泥桥墩,桥墩高为h,上底面直径为2a,要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数ρ.设水泥的比重为ρ,试求桥墩的形状.
选项
答案
首先建立坐标系,如图6.3所示,x轴为桥墩中心轴,y轴为水平轴.设桥墩侧面的曲线方程为y=y(x). [*] 其次列出y(x)满足的方程.由于顶面的压强也为p,则顶面承受的压力为F=pπa
2
. 考察中心轴上点x处的水平截面上所受总压力,它应等于压强×截面积=pπy
2
(x),另一方面又等于 顶面的压力+该截面上方桥墩的重量=pπa
2
+∫
x
h
pπy
2
(s)ds. 于是得pπy
2
(x)=pπa
2
+ρπ∫
x
h
y
2
(s)ds. 再将积分方程转化为微分方程的初值问题.将上述方程两边对x求导得 2pπyy’=-ρπy
2
.又在(*)式中令x=h得y(h)=a,于是得到[*] 最后求解初值问题.这是一阶线性齐次方程的初值问题,易求得[*]
解析
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考研数学二
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