2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g"(x)≠0，f(b)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明： 在(a，b)内，g(x)≠0；

设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g"(x)≠0，f(b)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明： 在(a，b)内，g(x)≠0；

admin2018-12-27  47
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g"(x)≠0，f(b)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明：
在(a，b)内，g(x)≠0；
选项
答案假设对任意的c∈(a，b)且g(c)=0。 由于g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在[a，c]，[c，b]上分别运用罗尔定理可得g’(ξ1)= g’(ξ2)=0，其中ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，对g’(x)在[ξ1，ξ2]上运用罗尔定理，可得g"(ξ3)=0，其中ξ3∈(ξ1，ξ2)。 因已知g"(x)≠0，与题设矛盾，故g(c)≠0，即在(a，b)内，g(x)≠0。
解析
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考研数学一

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