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  3. [2004年] 设矩阵A=，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则∣B∣=_________．

[2004年] 设矩阵A=，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则∣B∣=_________．

admin2019-05-10  56
问题 [2004年]  设矩阵A=，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则∣B∣=_________．
选项
答案在方程两端左乘A，消掉A*，再利用命题2．2．1．6求之．也可将B所满足的等式整理使得等号两端都为矩阵相乘的形式，然后再取行列式求之． 解一 ABA*A=2BA*A+A，即3AB=6B+A，又∣A∣=A*A=3，则 AB一2B－(1／3)A=0， a=一1／3， b=一2， c=0． 由命题2．2．1．6得到 (A+bE)(B+aE)=(A一2E)(B一(1／3)E)=(ab—c)E=(2／3)E， 所以 [*] ∣B∣=[(1／3)(1／3)一(2／3)(2／3)](一1／3)=(一3／9)(一1／3)=1／9． 解二 (A一2E)BA*=E，B=(A一2E)-1(A*)-1，故∣B∣=∣A*∣-1∣A一2E∣-1，由∣A∣=[*]=3知，∣A*∣=∣A2∣=9，∣A一2E∣=[*]=1．于是∣B∣=[*].
解析
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考研数学二

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