已知y1=xex+e2x，y2=xex+e-x，y3*=xex+e2x-e-x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

admin2018-06-27 99

问题已知y₁^*=xe^x+e^2x，y₂^*=xe^x+e^-x，y₃^*=xe^x+e^2x-e^-x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

选项

答案易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y₁^*-y₃^*=e^-x，y₂^*-y₃^*=2e^-x-e^2x．进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y₁=e^-x，y₂=2(y₁^*-y₃^*)-(y₂^*-y₃^*)=e^2x，它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y₄^*=y₁^*-y₂=xe^x．因此该非齐次方程的通解是y=C₁e^-x+C₂e^2x+xe^x，其中C₁，C₂为任意常数．由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y’’+py’+qy=f(x)．它的相应特征根是λ₁=-1，λ₂=2，于是特征方程是 (λ+1)(λ-2)=0，即 λ²-λ-2=0．因此方程为y’’-y’-2y=f(x)．再将特解y₄^*=xe^x代入得 (x+2)e^x-(x+1)e^x-2xe^x=f(x)，即f(x)=(1-2x)e^x 因此方程为y’’-y’-2y=(1-2x)e^x．

解析

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考研数学二

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已知y1=xex+e2x，y2=xex+e-x，y3*=xex+e2x-e-x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．

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已知A=(α1,α2,α3,α4)是4阶矩阵，其中α1,α2,α3,α4是4维列向量．若齐次方程组Ax=0的通解是k(1，0，一3，2)T，证明α2,α3,α4是齐次方程组A*x=0的基础解系．

函数u=xyz2在条件x2+y2+z2=4(x>0，y>0，z>0)下的最大值是

设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t一sint，y=ψ(t)=1一cost(0≤t≤2π)求证：由L的参数方程确定连续函数y=y(x)，并求它的定义域；

已知三元二次型xTAx的平方项系数均为Ω设α=(1，2，一1)T且满足Aα=2α．求正交变换x=Qy化二次型为标准形．并写出所用坐标变换．

已知三元二次型xTAx的平方项系数均为Ω设α=(1，2，一1)T且满足Aα=2α．求该二次型表达式；

已知4元齐次线性方程组的解全是4元方程(ii)x1+x2+x3=0的解，求齐次方程(ii)的解．

已知A是2×4矩阵，齐次方程组Ax=0的基础解系是η1=(1，3，0，2)T，η2=(1，2，一1，3)T，又知齐次方程组Bx=0的基础解系是β1=(1，1，2，1)T，β2=(0，一3，1，α)T，求矩阵A；

已知y1(x)=xe-x+e-2x，y2(x)=xe-x+xe-2x，y3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x是某二阶线性常系数微分方程y’’+Py’+qy=f(x)的三个特解．求这个方程和它的通解：

设y=y(x)是由方程x2+y=tan(x一y)确定的隐函数，且y(0)=0，则y’’(0)=___________.

镜下血尿

多媒体产品的三种类型是()

关于术后疼痛对机体的影响，下列哪项是正确的?()

开发单位除土地使用权出让金外,实际投入房屋建设工程的资金额应占全部开发投资总额()。

如果基础货币为100万元，货币乘数为8，法定存款准备金率为10％，则货币供应量为()万元。

过程能力指数不包括()。

“商品价格对商品价值的不断背离是一个必要的条件，只有在这个条件下并由于这个条件，商品价值才能存在。”这段话说明

社会意识是社会生活的精神方面，是社会存在的反映。下列选项属于社会意识的有()

HappyMarriage,HappyHeartHappilymarriedpeoplehavelowerbloodpressure【51】______unhappilymarriedpeopleorsingles,

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