设随机变量X，Y相互独立，其概率密度函数分别为求随机变量Z＝2X＋Y的概率密度函数．

admin2018-07-30 81

问题设随机变量X，Y相互独立，其概率密度函数分别为

求随机变量Z＝2X＋Y的概率密度函数．

选项

答案由已知，(X，Y)的联合密度为 f(χ，y)＝f_χ(χ)f_Y(y)＝[*] 而Z的分布函数为 F_Z(z)＝P(Z≤z)＝P(2X＋Y≤z)＝[*](χ，y)dχdy．当[*]≤0即z≤0时，F_Z(z)＝0 (图4．3(a)) 当0≤[*]≤1即0≤χ≤2时， F_Z(z)＝[*]e^-ydχdy＝∫₀^ze^-ydy[*]dχ＝[*](z∫₀^ze^-ydy－∫₀^zye^-ydy) (图4．3(b)) 当[*]＞1即z＞2时， F_Z(z)＝[*]e^-ydχdy＝∫₀¹dχ∫₀^z-2χe^-ydy＝∫₀¹[1－e^2χ-z]dχ＝－[*](e²－1)e^-z (图4．3(c) [*] 则Z的概率密度为 [*]

解析

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