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①设α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βt都是n维向量组,证明r(α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt)≤r(α1,α2,…,αs)+r(β1,β2,…,βt). ②设A和B是两个行数相同的矩阵,r(A|B)≤r(A)+r(B).
①设α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βt都是n维向量组,证明r(α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt)≤r(α1,α2,…,αs)+r(β1,β2,…,βt). ②设A和B是两个行数相同的矩阵,r(A|B)≤r(A)+r(B).
admin
2018-11-20
98
问题
①设α
1
,α
2
,…,α
s
和β
1
,β
2
,…,β
t
都是n维向量组,证明r(α
1
,α
2
,…,α
s
,β
1
,β
2
,…,β
t
)≤r(α
1
,α
2
,…,α
s
)+r(β
1
,β
2
,…,β
t
).
②设A和B是两个行数相同的矩阵,r(A|B)≤r(A)+r(B).
③设A和B是两个列数相同的矩阵,
表示A在上,B在下构造的矩阵.证明
≤r(A)+r(B).
选项
答案
这是3个互相等价的命题:①是②的向量形式;③是②的转置形式.因此对其中之一的证明就完成了这3个命题的证明. 证明①.取{α
1
,α
2
,…,α
s
,β
1
,β
2
,…,β
t
}的一个最大无关组(I),记(I)
1
是(I)中属于α
1
,α
2
,…,α
s
中的那些向量所构成的部分组,(I)
2
是(I)中其余向量所构成的部分组.于是(I),和(I)
2
分别是属于α
1
,α
2
,…,α
s
和β
1
,β
2
,…,β
t
的无关部分组,因此它们包含向量个数分别不超过r(α
1
,α
2
,…,α
s
)和r(β
1
,β
2
,…,β
t
).从而 r(α
1
,α
2
,…,α
s
,β
1
,β
2
,…,β
t
)=(I)中向量个数 =(I)
1
中向量个数+(I)
2
中向量个数) ≤r(α
1
,α
2
,…,α
s
)+r(β
1
,β
2
,…,β
t
).
解析
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考研数学三
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