设微分方程y"-3y’+ay=-5e-x的特解形式为Axe-x，则其通解为________．

admin2021-10-18 57

问题设微分方程y"-3y’+ay=-5e^-x的特解形式为Axe^-x，则其通解为________．

选项

答案y=C₁e^-x+C₂e^4x+xe^-x(C₁，C₂为任意常数)

解析因为方程有特解Axe^-x，所以-1为特征值，即(-1)²-3×(-1)+a=0→a=-4，所以特征方程为λ²-3λ-4=0→开了₁=-1，λ₂=4，齐次方程y"-3y’+ay=0的通解为y=C₁e^-x+C₂e^4x，再把Axe^-x代入原方程得A=1，原方程的通解为y=C₁e^-x+C₂e^4x+xe^-x(C₁，C₂为任意常数)．

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