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  3. 设A是n阶矩阵，证明： r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A=αβT；

设A是n阶矩阵，证明： r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A=αβT；

admin2021-01-14  67
问题 设A是n阶矩阵，证明：
r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A=αβT；
选项
答案若r(A)=1，则A为非零矩阵且A的任意两行成比例，即 [*] 于是A=[*](b1,b2,…,bn) 令α=[*]，显然α，β都不是零向量且A=αβT； 反之，若A=αβT，其中α，β都是n维非零列向量，则r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，又因为α，β为非零列向量，所以A为非零矩阵，从而r(A)≥1，于是r(A)=1．
解析
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考研数学二

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