2. 考研
  3. 设函数f(x，y)在(2，—2)处可微，满足 f(sin(xy)+2cosx，xy－2cosy)=1+x2+y2+o(x2+y2)， 这里o(x2+y2)表示比x2+y2高阶的无穷小((x，y)→(0，0)时)，试求曲面z=f(x，y)在点(2

设函数f(x，y)在(2，—2)处可微，满足 f(sin(xy)+2cosx，xy－2cosy)=1+x2+y2+o(x2+y2)， 这里o(x2+y2)表示比x2+y2高阶的无穷小((x，y)→(0，0)时)，试求曲面z=f(x，y)在点(2

admin2020-11-16  41
问题 设函数f(x，y)在(2，—2)处可微，满足
      f(sin(xy)+2cosx，xy－2cosy)=1+x2+y2+o(x2+y2)，
这里o(x2+y2)表示比x2+y2高阶的无穷小((x，y)→(0，0)时)，试求曲面z=f(x，y)在点(2，一2，f(2，一2))处的切平面．
选项
答案因为f(x，y)在(2，一2)处可微，所以f(x，y)在(2，一2)处连续， 取(x，y)=(0，0)得f(2，一2)=1． 因为f(x，y)在(2，一2)处可微，所以f(x，y)在(2，一2)处可偏导， 令y=0得f(2cosx，一2)=1+x2+o(x2)， 则[*] 令x=0得f(2，一2cosy)=1+y2+o(y2)， 则[*] 故曲面∑：z=f(x，y)在点(2，一2，1)处的法向量为n={1，一1，1}，切平面方程为π：(x—2)一(y+2)+(z一1)=0，即π：x—y+z—5=0．
解析
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考研数学一

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