2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，满足(A－aE)(A－bE)=0，其中数a≠b．证明： r(A－aE)+r(A－bE)=n．

设A是n阶矩阵，满足(A－aE)(A－bE)=0，其中数a≠b．证明： r(A－aE)+r(A－bE)=n．

admin2019-02-23  65
问题 设A是n阶矩阵，满足(A－aE)(A－bE)=0，其中数a≠b．证明：
r(A－aE)+r(A－bE)=n．
选项
答案一方面，根据矩阵秩的性质⑦，由(A－aE)(A－bE)=0得到r(A－aE)+r(A－bE)≤n．另一方面，用矩阵的秩的性质③，有r(A－aE)+r(A－bE)≥r((A－aE)－(A－bE))=r((b－a)E)=n． 两个不等式结合，推出r(A－aE)+r(A－bE)=n．
解析
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考研数学二

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