2. 公务员
  3. 已知函数f(x)=ex+e－x，其中e是自然对数的底数． 已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞)，使得f(x0)＜a(一x03+3x0)成立，试比较ea－1与ae－1的大小，并证明你的结论．

已知函数f(x)=ex+e－x，其中e是自然对数的底数． 已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞)，使得f(x0)＜a(一x03+3x0)成立，试比较ea－1与ae－1的大小，并证明你的结论．

admin2017-10-16  6
问题 已知函数f(x)=ex+e－x，其中e是自然对数的底数．
已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞)，使得f(x0)＜a(一x03+3x0)成立，试比较ea－1与ae－1的大小，并证明你的结论．
选项
答案令函数g(x)=ex+[*]一a(一x3+3x)，则g’(x)=ex一[*]+3a(x2—1)． 当x≥1时，ex—[*]＞0，x2—1≥0，又a＞0，故g’(x)＞0． 所以g(x)是[1，+∞)上的单调增函数，因此g(x)在[1，+∞)上的最小值是g(1)=e+e－1一2a． 由于存在x0∈[1，+∞)，使ex0+e－x0—a(一x03+3x0)＜0成立，当且仅当最小值g(1)＜0． 故e+e－1一2a＜0，即a＞[*] 令函数h(x)=x一(e一1)lnx一1，则h’(x)=1一[*]．令h’(x)=0，得x=e一1， 当x∈(0，e一1)时，h’(x)＜0，故h(x)是(0，e—1)上的单调减函数； 当x∈(e一1，+∞)时，h’(x)＞0，故h(x)是(e一1，+∞)上的单调增函数； 所以h(x)在(0，+∞)上的最小值是h(e—1)． 注意到h(1)=h(e)=0， 所以当x∈(1，e一1)[*](0，e一1)时，h(e一1)≤h(x)＜h(1)=0． 当x∈(e一1，e)[*](e一1，+∞)时，h(x)＜h(e)=0，所以h(x)＜0对任意的x∈(1，e)成立． ①当a∈[*](1，e)时，h(a)＜0，即a一1＜(e一1)lna，从而ea－1＜ae－1； ②当a=e时，ea－1=ae－1； ③当a∈(e，+∞)[*](e一1，+∞)时，h(a)＞h(e)=0，且a—1＞(e一1)lna，故ea－1>＞ae－1． 综上所述，当a∈[*]时，ea－1＜ae－1；当a=e时，ea－1=ae－1；当a∈(e，+∞)时，ea－1＞ae－1．
解析
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