2. 考研
  3. 计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分 I=(x+y+z)dV，其中Ω：x2+y2+z2≤2az，≤z(a＞0)．

计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分 I=(x+y+z)dV，其中Ω：x2+y2+z2≤2az，≤z(a＞0)．

admin2018-06-15  58
问题 计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分
I=(x+y+z)dV，其中Ω：x2+y2+z2≤2az，≤z(a＞0)．
选项
答案Ω关于yz平面与zx平面均对称 [*] 用球坐标变换，球面x2+y2+z2=2az与锥面的球坐标方程分别为ρ=2acosφ，φ=π／4．Ω的球坐标表示Ω：0≤θ≤2π，0≤φ≤π／4，0≤ρ≤2acosφ，于是 I=∫02πdθ∫0π／4dφ∫02acosφρcosφρ2sinφdρ=2π∫0π／4cosφsinφ(2a)4cos4φdφ =－8πa4∫0π／4cos5φdcosφ=－8／6πa4cos6φ|0π／4 =7／6πa4．
解析
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考研数学一

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