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设n维列向量α1,α2,α3满足α1-2α2+3α3=0,对任意的n维列向量β,向量组α1+aβ,α2+bβ,α3线性相关,则参数a,b应满足条件 ( )
设n维列向量α1,α2,α3满足α1-2α2+3α3=0,对任意的n维列向量β,向量组α1+aβ,α2+bβ,α3线性相关,则参数a,b应满足条件 ( )
admin
2019-01-24
52
问题
设n维列向量α
1
,α
2
,α
3
满足α
1
-2α
2
+3α
3
=0,对任意的n维列向量β,向量组α
1
+aβ,α
2
+bβ,α
3
线性相关,则参数a,b应满足条件 ( )
选项
A、a=b.
B、a=-b.
C、a=2b.
D、a=-2b.
答案
C
解析
法一 因α
1
,α
2
,α
3
满足 α
1
-2α
2
+3α
3
=0, (*)
要求向量组α
1
+aβ,α
2
+bβ,α
3
线性相关,其中β是任意n维列向量.利用式(*),取常数k
1
=1,k
2
=-2,k
3
=3,对向量组α
1
+aβ,α
2
+bβ,α
3
作线性组合,得
(α
1
+aβ)-2(α
2
+bβ)+3α
3
=α
1
-2α
2
+3α
3
+(a-2b)β=(a-2b)β
故当a=2b时,对任意的n维列向量β均有α
1
+aβ-2(α
2
+bβ)+3α
3
=0,即a=2b时,α
1
+aβ,α
2
+bβ,α
3
对任意β线性相关.故应选(C).
法二α
1
+aβ,α
2
+bβ,α
3
线性相关
r(α
1
+aβ,α
2
+bβ,α
3
)≤2.对矩阵(α
1
+aβ,α
2
+bβ,α
3
)作初等列变换(不改变秩)有
(α
1
+aβ,α
2
+bβ,α
3
)→(α
1
+bβ,α
2
+bβ,α
1
+aβ-2(α
2
+bβ)+3α
3
)
=(α
1
+aβ,α
2
+bβ,(a-2b)β)
(α
1
+aβ,α
2
+bβ,0).
故a=2b时,r(α
1
+aβ,α
2
+bβ,α
3
)≤2,对任意的n维列向量β,有α
1
+aβ,α
2
+bβ,α
3
线性相关,应选(C).
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/8SM4777K
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考研数学一
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