2. 考研
  3. 设n维列向量α1，α2，α3满足α1－2α2＋3α3＝0，对任意的n维列向量β，向量组α1＋aβ，α2＋bβ，α3线性相关，则参数a，b应满足条件 ( )

设n维列向量α1，α2，α3满足α1－2α2＋3α3＝0，对任意的n维列向量β，向量组α1＋aβ，α2＋bβ，α3线性相关，则参数a，b应满足条件 ( )

admin2019-01-24  51
问题 设n维列向量α1，α2，α3满足α1－2α2＋3α3＝0，对任意的n维列向量β，向量组α1＋aβ，α2＋bβ，α3线性相关，则参数a，b应满足条件    (    )
选项 A、a＝b．
B、a＝－b．
C、a＝2b．
D、a＝－2b．
答案C
解析 法一  因α1，α2，α3满足 α1－2α2＋3α3＝0，    (*)
要求向量组α1＋aβ，α2＋bβ，α3线性相关，其中β是任意n维列向量．利用式(*)，取常数k1＝1，k2＝－2，k3＝3，对向量组α1＋aβ，α2＋bβ，α3作线性组合，得
(α1＋aβ)－2(α2＋bβ)＋3α3＝α1－2α2＋3α3＋(a－2b)β＝(a－2b)β
故当a＝2b时，对任意的n维列向量β均有α1＋aβ－2(α2＋bβ)＋3α3＝0，即a＝2b时，α1＋aβ，α2＋bβ，α3对任意β线性相关．故应选(C)．
法二α1＋aβ，α2＋bβ，α3线性相关r(α1＋aβ，α2＋bβ，α3)≤2．对矩阵(α1＋aβ，α2＋bβ，α3)作初等列变换(不改变秩)有
(α1＋aβ，α2＋bβ，α3)→(α1＋bβ，α2＋bβ，α1＋aβ－2(α2＋bβ)＋3α3)
＝(α1＋aβ，α2＋bβ，(a－2b)β)(α1＋aβ，α2＋bβ，0)．
故a＝2b时，r(α1＋aβ，α2＋bβ，α3)≤2，对任意的n维列向量β，有α1＋aβ，α2＋bβ，α3线性相关，应选(C)．
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考研数学一

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