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若y1,y2,y3是二阶非齐次线性微分方程(1)的线性无关的解,试用y1,y2,y3表达方程(1)的通解. y〞+P(x)yˊ+Q(x)y=f(x) (1)
若y1,y2,y3是二阶非齐次线性微分方程(1)的线性无关的解,试用y1,y2,y3表达方程(1)的通解. y〞+P(x)yˊ+Q(x)y=f(x) (1)
admin
2017-10-19
89
问题
若y
1
,y
2
,y
3
是二阶非齐次线性微分方程(1)的线性无关的解,试用y
1
,y
2
,y
3
表达方程(1)的通解. y〞+P(x)yˊ+Q(x)y=f(x) (1)
选项
答案
设方程为y〞+P(x)yˊ+Q(x)y=f(x). 令 Y
1
=y
1
-y
2
,Y
2
=y
2
-y
3
, Yˊ
1
=yˊ
1
-yˊ
2
,Yˊ
2
=yˊ
2
-yˊ
3
, Y〞
1
=y〞
1
-y〞
2
,Y〞
2
=y〞
2
-y〞
3
. 将Y
1
代人方程左边,得 左边=y〞
1
-y〞
2
+P(x)(yˊ
1
-yˊ
2
)+Q(x)(y
1
-y
2
) =y〞
1
+P(x)yˊ
1
+Q(x)y
1
-[y〞
2
+P(x)yˊ
2
+Q(x)y
2
] =f(x)-f(x)=0, Y
1
是齐次方程y〞+P(x)yˊ+Q(x)y=0的一个解. 同理可证Y
2
是齐次方程的一个解, k
1
Y
1
+k
2
Y
2
=k
1
y
1
-k
2
y
3
+(k
2
-k
1
)y
2
=0, 由y
1
,y
2
,y
3
线性无关,k
1
=0,k
2
=0,Y
1
,Y
2
线性无关,即Y
1
,Y
2
是齐次方程两个线性无关的解. 那么由非齐次方程解的结构可写出原方程的通解 y=C
1
(y
1
-y
2
)+C
2
(y
2
-y
3
)+y
1
.
解析
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考研数学三
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