2. 考研
  3. 若y1，y2，y3是二阶非齐次线性微分方程(1)的线性无关的解，试用y1，y2，y3表达方程(1)的通解． y〞＋P(x)yˊ＋Q(x)y＝f(x) (1)

若y1，y2，y3是二阶非齐次线性微分方程(1)的线性无关的解，试用y1，y2，y3表达方程(1)的通解． y〞＋P(x)yˊ＋Q(x)y＝f(x) (1)

admin2017-10-19  89
问题 若y1，y2，y3是二阶非齐次线性微分方程(1)的线性无关的解，试用y1，y2，y3表达方程(1)的通解． y〞＋P(x)yˊ＋Q(x)y＝f(x)    (1)
选项
答案设方程为y〞＋P(x)yˊ＋Q(x)y＝f(x)． 令 Y1＝y1－y2，Y2＝y2－y3， Yˊ1＝yˊ1－yˊ2，Yˊ2＝yˊ2－yˊ3， Y〞1＝y〞1－y〞2，Y〞2＝y〞2－y〞3． 将Y1代人方程左边，得 左边＝y〞1－y〞2＋P(x)(yˊ1－yˊ2)＋Q(x)(y1－y2) ＝y〞1＋P(x)yˊ1＋Q(x)y1－[y〞2＋P(x)yˊ2＋Q(x)y2] ＝f(x)－f(x)＝0， Y1是齐次方程y〞＋P(x)yˊ＋Q(x)y＝0的一个解． 同理可证Y2是齐次方程的一个解， k1Y1＋k2Y2＝k1y1－k2y3＋(k2－k1)y2＝0， 由y1，y2，y3线性无关，k1＝0，k2＝0，Y1，Y2线性无关，即Y1，Y2是齐次方程两个线性无关的解． 那么由非齐次方程解的结构可写出原方程的通解 y＝C1(y1－y2)＋C2(y2－y3)＋y1．
解析
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考研数学三

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