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设α1=(6,-1,1)T与α2=(-7,4,2)T是线性方程组 的两个解,则此方程组的通解是________。
设α1=(6,-1,1)T与α2=(-7,4,2)T是线性方程组 的两个解,则此方程组的通解是________。
admin
2017-09-28
91
问题
设α
1
=(6,-1,1)
T
与α
2
=(-7,4,2)
T
是线性方程组
的两个解,则此方程组的通解是________。
选项
答案
(6,-1,1)
T
+k(13,-5,-1)
T
,k为任意常数
解析
一方面因为α
1
,α
2
是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解,所以一定有r(A)=
<3。另一方面由于在系数矩阵A中存在二阶子式
所以一定有r(A)≥2,因此必有r(A)=
=2。
由n-r(A)=3-2=1可知,导出组Ax=0的基础解系由一个解向量构成,根据解的性质可知
α
1
-α
2
=(6,-1,1)
T
(-7,4,2)
T
=(13,-5,-1)
T
是导出组Ax=0的非零解,即基础解系,则方程组的通解为
x=(6,-1,1)
T
+k(13,-5,-1)
T
,k为任意常数。
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考研数学一
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