2. 考研
  3. [2007年] 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导且存在相等的最大值．又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)．证明： 存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)．

[2007年] 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导且存在相等的最大值．又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)．证明： 存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)．

admin2019-03-30  93
问题 [2007年]  设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导且存在相等的最大值．又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)．证明：
存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)．
选项
答案由题设和(1)的结果知，F(x)=f(x)－g(x)在a，b，η三点处的函数值相等．这启示我们对F(x)在[a，η]及[η，b]上分别使用罗尔定理得到结论：存在ξ1∈(a，η)，使F’(ξ1)=f’(ξ1)－g’(ξ1)=0；存在ξ2∈(η，b)，使F’(η)=f(ξ2)－g(ξ2)=0． 再对F’(x)在[ξ1，ξ2]上使用罗尔定理得到结论：存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得F"(ξ)=f"(ξ)－g"(ξ)=0，即f"(ξ)=g"(ξ)．
解析
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考研数学三

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