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[2007年] 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值.又f(a)=g(a),f(b)=g(b).证明: 存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=g"(ξ).
[2007年] 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值.又f(a)=g(a),f(b)=g(b).证明: 存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=g"(ξ).
admin
2019-03-30
94
问题
[2007年] 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值.又f(a)=g(a),f(b)=g(b).证明:
存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)=g"(ξ).
选项
答案
由题设和(1)的结果知,F(x)=f(x)-g(x)在a,b,η三点处的函数值相等.这启示我们对F(x)在[a,η]及[η,b]上分别使用罗尔定理得到结论:存在ξ
1
∈(a,η),使F’(ξ
1
)=f’(ξ
1
)-g’(ξ
1
)=0;存在ξ
2
∈(η,b),使F’(η)=f(ξ
2
)-g(ξ
2
)=0. 再对F’(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上使用罗尔定理得到结论:存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使得F"(ξ)=f"(ξ)-g"(ξ)=0,即f"(ξ)=g"(ξ).
解析
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考研数学三
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