2. 考研
  3. 设二次型 xTAx=x22+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x2+2cx2x3，矩阵A满足AB=0，其中B= (Ⅰ)用正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)求(A一3E)6．

设二次型 xTAx=x22+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x2+2cx2x3，矩阵A满足AB=0，其中B= (Ⅰ)用正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)求(A一3E)6．

admin2022-04-08  69
问题 设二次型
xTAx=x22+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x2+2cx2x3，矩阵A满足AB=0，其中B=
(Ⅰ)用正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用正交变换；
(Ⅱ)求(A一3E)6．
选项
答案(Ⅰ)由AB=[*]=0知，矩阵B的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量． 记[*]，则Aα1=0=0α1，Aα2=0=0α2． 由此可知λ=0是矩阵A的特征值(至少是二重)，α1，α2是λ=0的线性无关的特征向量． 根据∑λi=∑aii，有0+0+λ3=1+4+1，故知矩阵A有特征值λ=6．因此，矩阵A的特征值是0，0，6． 设λ=6的特征向量为α3=(x1，x2，x3)T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有 [*]
解析
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考研数学二

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