2. 考研
  3. 设F(u，v)可微，y=y(x)由方程F[xex+y,f(xy)]=x2+y2所确定，其中f(x)是连续函数且满足关系式 ∫1xyf(t)dt=x∫1yf(t)dt+y∫1xf(t)dt，x，y＞0， 又f(1)=1，求： f(x)的表达式；

设F(u，v)可微，y=y(x)由方程F[xex+y,f(xy)]=x2+y2所确定，其中f(x)是连续函数且满足关系式 ∫1xyf(t)dt=x∫1yf(t)dt+y∫1xf(t)dt，x，y＞0， 又f(1)=1，求： f(x)的表达式；

admin2021-08-02  100
问题 设F(u，v)可微，y=y(x)由方程F[xex+y,f(xy)]=x2+y2所确定，其中f(x)是连续函数且满足关系式
∫1xyf(t)dt=x∫1yf(t)dt+y∫1xf(t)dt，x，y＞0，
又f(1)=1，求：
f(x)的表达式；
选项
答案在∫1xyf(t)dt=x∫1yf(t)dt+y∫1xf(t)dt两边同时对x求偏导，有 yf(xy)=∫1yf(t)dt+yf(x) 上式两边再同时对y求偏导数，有 f(xy)+xyf’(xy)=f(y)+f(x), 令y=1，有 f(x)+xf’(x)=f(1)+f(x). 又f(1)=1，则f’(x)=[*]，得f(x)=lnx+1.
解析
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考研数学二

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