设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1/2)=2，f(1)=1/2．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)+f( )=1+ξ．

admin2022-10-27 0

问题设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1/2)=2，f(1)=1/2．
证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)+f( )=1+ξ．

选项

答案令φ(x)=e^x[f(x)-x]，由f(0)=0，f(c)=c得φ(0)=φ(c)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)[*](0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e^x[f’(x)+f(x)-1-x]且e^x≠0，得f’(ξ)+f(ξ)=1+ξ．

解析

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考研数学一

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