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  3. [2007年] 求函数f(x，y)=x2+2y2一x2y2在区域D={(x，y)｜x2+y2≤4，y≥0}上的最大值和最小值．

[2007年] 求函数f(x，y)=x2+2y2一x2y2在区域D={(x，y)｜x2+y2≤4，y≥0}上的最大值和最小值．

admin2021-01-15  6
问题 [2007年]  求函数f(x，y)=x2+2y2一x2y2在区域D={(x，y)｜x2+y2≤4，y≥0}上的最大值和最小值．
选项
答案(1)先求D内的驻点及其函数值．由 [*] 得驻点 [*] 即f(x，y)在D内有2个驻点：[*]，其函数值为f(Mi)=2(i=1，2)． (2)求f(x，y)在D的边界上的最大值与最小值．D的边界 由Γ1和Γ2两部分所组成．在直线段Γ1上，有 [*] -2≤x≤2， y=0， 则 f(x，y)=x2， 此时f(x，y)的最小值为0，最大值为f(±2，0)=22=4． 在上半圆周Γ2：y2=4一x2(一2≤x≤2)上，有 f(x，y)=x2+2y2-x2y2=x2+2(4一x2)-x2(4一x2) =8—5x2+x4=(x2一5／2)2+7／4 (一2≤x≤2)， 为方便计，令g(x)=(x2一5／2)2+7／4，则g’(x)=4x(x2一5／2)，由g’(x)=0得到x1=0，x2,3=[*]．而 g(x1)=g(0)=8，g(x2,3)=[*]=7／4，g(±2)=4， 于是f(x，y)在D的边界上的最大值为8，最小值为0． (3)比较(1)、(2)中所得的函数值知，f(x，y)在D上的最大值为8，最小值为0．
解析
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考研数学一

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