2. 考研
  3. 设4阶矩阵A＝(α1，α2，α3，α4)，方程组Aχ＝β的通解为 (1，2，2，1)T＋c(1，－2，4，0)T，c任意． 记B＝(α3，α2，α1，β－α4)．求方程组Bχ＝α1－α2的通解．

设4阶矩阵A＝(α1，α2，α3，α4)，方程组Aχ＝β的通解为 (1，2，2，1)T＋c(1，－2，4，0)T，c任意． 记B＝(α3，α2，α1，β－α4)．求方程组Bχ＝α1－α2的通解．

admin2017-11-21  21
问题 设4阶矩阵A＝(α1，α2，α3，α4)，方程组Aχ＝β的通解为
    (1，2，2，1)T＋c(1，－2，4，0)T，c任意．
    记B＝(α3，α2，α1，β－α4)．求方程组Bχ＝α1－α2的通解．
选项
答案首先从AX＝β的通解为(1，2，2，1)T＋c(1，－2，4，0)T可得到下列讯息： ①Aχ＝0的基础解系包含1个解，即 4－r(A)＝1， 得r(A)＝3．即r(α1，α2，α3，α4)＝3． ②(1，2，2，1)T是Aχ＝β解，即 α1＋2α2＋2α3＋α4＝β． ③(1，－2，4，0)T是Aχ＝0解，即 α1－2α2＋4α3＝0．α1，α2，α3 线性相关，r(α1，α2，α3)＝2． 显然B(0，－1，1，0)T＝α1－α2，即(0，－1，1，0)T是Bχ＝α1－α2的一个解． 由②，B＝(α1，α2，α1，β－α4)＝(α3，α2，α1，α1＋2α2＋2α3)，于是 r(B)＝r(α3，α2，α1，α1＋2α2＋2α3)＝r(α1，α2，α3)＝2． 则Bχ＝0的基础解系包含解的个数为4－r(B)＝2个．α1－2α2＋4α4＝0说明(4，－2，1，0)T是Bχ＝0的解；又从B＝(α3，α2，α1，α1＋2α2＋2α3)容易得到B(－2，－2，－1，1)T＝0，说明(－2，－2，－1，1)T也是Bχ＝0的解．于是(4，－2，1，0)T和(－2，－2，－1，1)T构成Bχ＝0的基础解系． Bχ＝α1－α2的通解为： (0，－1，1，0)T＋c1(4，－2，1，0)T＋c2(－2，－2，－1，1)T，c1，c2任意．
解析
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考研数学二

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