设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0＜f’(x)＜1(x∈(0，1))，求证：

admin2016-10-20 14

问题设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0＜f’(x)＜1(x∈(0，1))，求证：

选项

答案即证 [*] 若能证明F(x)＞0(x∈(0，1])即可．这可用单调性方法． [*] 由题设知f(x)在[0，1]单调上升，故f(x)＞f(0)=0(x∈(0，1])，从而F(x)与g(x)=[*]-f²(x)同号．计算可得g’(x)=2f(x)[1-f’(x)]＞0．(x∈(0，1))，结合g(x)在[0，1]连续，于是g(x)在[0，1]单调上升，故g(x)＞g(0)=0(x∈(0，1])，也就有F’(x)＞0(x∈(0，1])，即F(x)在[0,1]单调上升，F(x)＞F(0)=0(x∈(0，1])．因此 [*] 即结论成立．

解析

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考研数学三

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