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  3. 设f(x，y)在点(0，0)的某邻域U内连续，且(常数a＞0)，则( )

设f(x，y)在点(0，0)的某邻域U内连续，且(常数a＞0)，则( )

admin2021-04-07  48
问题 设f(x，y)在点(0，0)的某邻域U内连续，且(常数a＞0)，则(    )
选项 A、f(0，0)是f(x，y)的极小值
B、f(0，0)是f(x，y)的极大值
C、f(0，0)不是f(x，y)的极值
D、f(0，0)是否为f(x，y)的极值由a的值决定
答案D
解析 由极限与无穷小的关系，得
f(x，y)－xy＝(a＋α)(x2＋y2)，
其中。
①设a＞1／2，令b＝a－1／2＞0，于是
f(x，y)＝xy＋(b＋1／2＋a)(x2＋y2)
        ＝(x＋y)2＋b(x2＋y2)＋a(x2＋y2)，
由于f(x，y)在点(0，0)处连续，所以

当x2＋y2＞0且足够小时，a＜b，f(x，y)＞0，所以f(0，0)是f(x，y)的极小值，
②设，0＜a＜1／2，令b＝a－1／2，于是一1／2＜b＝a－1／2＜0，
f(x，y)＝1／2(x＋y)2＋(b＋a)(x2＋y2)，
沿直线y＝－x，且点(x，y)属于点(0，0)的足够小的去心邻域，使∣a∣＜∣b∣，于是
f(x，y)＜0
若沿直线y＝x，且点(x，y)∈U，注意此时必有z≠0，故
f(x，y)＝2x2(1＋b＋a)＞0，
所以点(0，0)不是f(x，y)的极值点，选D。
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考研数学二

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